Fermiho úlohy

I. ročník soutěže Fermiho úlohy ve školním roce 2006/2007

• 1. kolo soutěže
• 2. kolo soutěže
• Finále

1. kolo soutěže

Soutěžní úlohy

1. Kolik zrnek fazole vyplní jednolitrovou sklenici (odměrný válec)?
2. Jaká je hmotnost (v kilogramech) všech žáků vaší školy?
3. Kolik vlasů má na hlavě průměrně dospělý člověk?
4. Kolik energie je potřeba k tomu, abychom uvedli do varu vodu ve všech světových oceánech?
5. Kolik váží plně naložený Boeing 747?
6. Kolik času stráví používáním mobilního telefonu žák vaší školy průměrně za 1 rok?
7. Kolik 100 W žárovek má stejnou energii jako Slunce?

Ukázka řešení úloh 1. kola

Jména řešitelů: Hromádková Natalie, Hejda Jan, Davidík Lukáš, Kudlička Tomáš, Sekaninová Michaela, Zrotál Martin; 8.A

1. Kolik zrnek fazole vyplní jednolitrovou sklenici?

Nalili jsme do odměrného válce 30 ml vody a jedna fazole zvedla hladinu vody o 0,5 ml.
1 fazole ... 0,5 ml
20 fazolí ... 10 ml
10 ml . 100 ml = 1000 ml = 1 l
20 fazolí . 100 ml = 2000 fazolí
Do 1 l nádoby se dá vložit cca 2000 fazolí.

2. Jaká je hmotnost (v kilogramech) všech žáků vaší školy?

První stupeň:
Ve třídě je zhruba 20 žáků.
Jeden žák váží přibližně 40 kg.
20 žáků = 1 třída
5 ročníků . 2 (třídy A,B) = 10 tříd
20 žáků . 10 tříd = 200 žáků
200 žáků . 40 kg = 8000 kg

Druhý stupeň:
Ve třídě je zhruba 20 žáků.
Jeden žák váží přibližně 50 kg.
20 žáků = 1 třída
4 ročníky . 2 (třídy A,B) = 8 tříd
20 žáků . 8 tříd = 160 žáků
160 žáků . 50 kg = 8000 kg

Celkem: 8000 kg + 8000 kg = 16000 kg
Odhadem je hmotnost všech žáků naší školy 16000 kg.

3. Kolik vlasů má na hlavě průměrně dospělý člověk?

Pro výpočet povrchu hlavy použijeme výpočet povrchu koule.
S = pi d²
S = 3,14 . 16² cm²
S = 803 cm²
803 cm² je 100 % povrchu hlavy. Vlasy zabírají asi 40 % hlavy. 40 % činí přibližně 321 cm².
Na 1 cm² povrchu hlavy připadá cca 300 vlasů.
321 . 300 = 96300 vlasů
Odhadem má dospělý člověk na hlavě 96 300 vlasů.

4. Kolik energie je potřeba k tomu, abychom uvedli do varu vodu ve všech světových oceánech?

Abychom uvedli vodu do varu, musíme jí dodat teplo, 1 kg konkrétně
Q = m.c.(t - t₀)
Q = 1.4180.(100-18) J = 342760 J
K uvedení 1 l vody (hmotnost 1 l vody je 1 kg) o teplotě přibližně 18 ^oC musíme dodat teplo 342760 J.
V oceánech je 1,36 miliard km³ vody = 1,36x10²¹ l, hmotnost je tedy m = 1,36x10²¹ kg.
Q = 1,36x10²¹.4180.(100-18) J = 4,66 x10²⁶J
K tomu, abychom uvedli do varu vodu ve všech světových oceánech, potřebujeme energii přibližně 4,66 x10²⁶J.

5. Kolik váží plně naložený Boxing 747?

Hmotnost Boxingu 747 série 100/200:
prázdný: m = 173 272 kg
plně naložený: m = 356 100 kg
maximální vzletová hmotnost m = 377 800 kg
Plně naložený Boxing 747 váží 356 100 kg. Informaci jsme nalezli v encyklopedii.

6. Kolik času stráví používáním mobilního telefonu žák vaší školy průměrně za 1 rok?

Kolik času stráví průměrně jeden žák používáním mobilního telefonu za den? 15 min
Kolik času stráví průměrně jeden žák používáním mobilního telefonu za rok?
365 dní . 15 min = 5 475 min
V přepočtu na hodiny je to 91 h 25 min.
Jeden žák naší školy stráví používáním mobilního telefonu za rok odhadem 91 h 25 min.

7. Kolik 100 W žárovek má stejnou energii jako Slunce?

Každou sekundu vypouští Slunce 3,83.10²⁶ J.
Joule za sekundu je Watt, a tedy zářivý výkon Slunce je 3,83.10²⁶ W.
Zářivý výkon Slunce vydělíme výkonem žárovky:
3,83.10²⁶ : 100 = 3,83.10²⁴ žárovek
Stejnou energii jako Slunce má 3,83.10²⁴ 100 W žárovek.

Vyhodnocení 1. kola

Ze zaslaných řešení úloh 1. kola byli vyhodnoceni:

Kategorie jednotlivci:

1. Jonáš Svoboda, Gymnázium Kpt. Jaroše v Brně, třída 3 ag.
2. Eva Mrázová, ZŠ Litovel, Vítězná 1250, třída IX.A
3. Michal Bajcar, Gymnázium Fr. Živného, Bohumín, třída 1.B

Kategorie kolektivy:

• Kolektiv žáků ZŠ a MŠ Všechovice, 8.B: Lenka Hostašová, Ivo Suchý, Jan Ondroušek, Pavlína Tomková
• Kolektiv žáků ZŠ Svatopluka Čecha, Kojetín, třída 8.A.: Natalie Hromádková, Jan Hejda, Lukáš Davidík, Tomáš Kudlička, Michaela Sekaninová, Martin Zrotál

V kategorii kolektivů nebylo stanoveno pořadí.

2. kolo soutěže

Soutěžní úlohy

1. Kolik elektronů projde průřezem vlákna žárovky během jednoho dne, bude-li žárovka svítit celých 24 hodin?
2. Jakou dobu v sekundách by potřeboval zvuk signalizující výbuch sopky, aby oběhl celou Zemi?
3. Kolik zrnek rýže snědli obyvatelé Prahy za posledních 10 let?
4. Nová hvězda byla objevena ve vzdálenosti 4 světelných let od Země. Jak velký je objem koule o poloměru 4 světelných let (v km³)?
5. Kolik atomů obsahuje krystal chloridu sodného o hraně 2 cm?
6. Kolik kilogramů oxidu uhličitého vznikne spálením 1 tuny surové ropy?
7. Jak velká hromada tisícikorun by vznikla, kdyby vám někdo zaplatil za každý atom železa ve vašem těle 10 Kč?

Ukázka řešení úloh 2. kola

Jména řešitelů: Dušková Andrea, Hejda Jan, Krejsa Pavel, Kudlička Tomáš, Sekaninová Michaela, Zrotál Martin; 8.A

1. Kolik elektronů projde průřezem vlákna žárovky během jednoho dne, bude-li žárovka svítit celých 24 hodin?

Obyčejnou žárovkou 4,5 V prochází proud cca 1 A.
čas: 24 h = 86400 s
Pro proud platí vztah: I=Q/t
Z tohoto vztahu můžeme vypočítat náboj: Q = I·t
Q = 1·86400 C = 86400 C
e…elementární náboj elektronu Q/e = 86400 : (1,602·10^-19) = 5,39·10²³

Vláknem žárovky během jednoho dne projde 5,39.10²³ elektronů.

2. Jakou dobu v sekundách by potřeboval zvuk signalizující výbuch sopky, aby oběhl celou Zemi?

Rychlost zvuku signalizující výbuch sopky je 150 m/s a obvod Země je 40 028 709,6 m.
v=s/t
t=s/v=40 028 709,6/150=266 858,064 s

Zvuk signalizující výbuch sopky by potřeboval na oběhnutí Země 266 858,064 sekund.

3. Kolik zrnek rýže snědli obyvatelé Prahy za posledních 10 let?

Spotřeba rýže: přibližně 4,4 kg za rok na 1 obyvatele
Průměrný počet obyvatel Prahy (1997-2007): 1200000 obyvatel
4,4 kg·1200000 obyvatel = 5280000 kg rýže za rok
5280000 kg rýže za rok -> 52800000 kg rýže za 10 let

1 kg rýže…………cca 44000 zrnek
52800000 kg rýže…………x zrnek

x = 52800000·44000 = 2 323 200 000 000 zrnek rýže = 2,3232·10⁸ zrnek rýže

Obyvatelé Prahy snědli za posledních 10 let zhruba 2,3232.10⁸ zrnek rýže.

4. Nová hvězda byla objevena ve vzdálenosti 4 světelných let od Země. Jak velký je objem koule o poloměru 4 světelných let (v km³)?

1 světený rok … 9460,5·10⁹ km
4 světelné roky … 37042·10⁹ km
r = 37042·10⁹ km
V = ? km³

V = 4/3·π·r³
V = 4/3·3,14·(37042·10⁹)³
V = 2,1279022·10⁴¹ km³

Objem koule o poloměru 4 světelných let je 2,1279022·10⁴¹ km³.

5. Kolik atomů obsahuje krystal chloridu sodného o hraně 2 cm?

hrana krychle a = 2 cm
počet atomů N = ?

V = a³ = 2³ = 8 cm³ = 0,000008 m³
ρ_NaCl = 2160 kg/m³
m =ρ·V
m = 2160·0,000008 = 0,01728 kg = 17,28 g
M_NaCl = M_Na + M_Cl = 23 + 35,5 = 58,5 g/mol
M = m/n
n = m / M = 17,28 : 58,5 = 0,295 mol
Avogadrova konstanta N_A = 6,023.10²³
n = N/N_A
N = n·N_A = 0,295·6,023·10²³ = 1,776785·10²³

Krystal chloridu sodného o hraně 2 cm obsahuje 1,776785·10²³ atomů.

6. Kolik kilogramů oxidu uhličitého vznikne spálením 1 tuny surové ropy?

Spálením 1 tuny surové ropy vznikne 23 kg oxidu uhličitého, což se rovná ročnímu znečištění v USA. Informaci jsme čerpali z encyklopedie.

7. Jak velká hromada tisícikorun by vznikla, kdyby vám někdo zaplatil za každý atom železa ve vašem těle 10 Kč?

počet atomů železa v lidském těle…4,5·10²²
1 atom železa …………  10 Kč
4,5·10²² atomů železa … x Kč

x = 4,5·10²²·10 = 4,5·10²³ Kč
1 ks tisícikoruny …. 100 ks desetikorun
y ks tisícikorun ……4,5·10²³ ks desetikorun
y = (4,5·10²³) : 100 = 4,5·10²¹ ks tisícikorun
1 cm … 60 ks tisícikorun

z cm … 4,5·10²¹ ks tisícikorun

z = (4,5·10²¹) : 60 = 7,5·10¹⁹ cm

Kdyby nám někdo zaplatil 10 Kč za každý atom železa v těle, vznikla by 7,5·10¹⁹ cm velká hromada tisícikorun.

Výsledky 2. kola

Ze zaslaných řešení úloh 2. kola byli vyhodnoceni:

Kategorie jednotlivci:

Úspěšní řešitelé (bez stanovení pořadí):

• R. Kopecký, MG Vsetín
• D. Diblíková, Gymnázium Šumperk
• B. Gronych, Gymnázium Šumperk
• O. Vykonal, Gymnázium Šumperk
• M. Bajcar, Gymnázium Bohumín
• A. Silná, Gymnázium Šumperk
• M. Minář, Gymnázium Šumperk
• P. Neugebauerová, Gymnázium Šumperk
• M. Koloušová, Gymnázium Botičská
• M. Ciffra, Gymnázium Šumperk
• J. Trčka, Gymnázium Šumperk
• J. Golda, Hanušovice

Neúspěšný řešitel:

• T. Krynský, Šumperk

Kategorie kolektivy:

Úspěšní řešitelé:

• Gymnázium Jeseník (T. Javůrek, L. Lattenbech, J. Světlík, K. Janáková, V. Staněk, B. Pavlíková)
• ZŠ Sv.Čecha Kojetín (A. Dušková, J. Hejda, P. Krejsa, T. Kudlička, M. Sekaninová, M. Zrotál)
• Kolektiv žáků ZŠ a MŠ Všechovice, 8.B: Ondroušek, Suchý, Maňasová, Hostašová, Masaříková, Hrabovská, Tomková, Výsmeková, Buzinis

Finále

Soutěžní úlohy

1. Podle předpovědi počasí napršelo na celém území České Republiky 10 mm srážek. Kolik litrů vody pokrylo území ČR?
2. Kolik lidí by se muselo postavit jeden druhému na ramena, aby vytvořili řetěz spojující Zemi a Měsíc? (Vzdálenost Z-M je 240 000 mil).
3. Kolik zrnek cukru krystal bude vážit 1 tunu?
4. Magic Johnson dokáže driblovat non-stop jak dlouho si zamane. Dribluje-li bez přestání po dobu 2 let, kolikrát udeří míčem o zem?

Termín:	25. května 2007
Kde:	Areál Katedry experimentální fyziky Přírodovědecké fakulty UP v Olomouci, Tř. 17. listopadu 50a, Olomouc, učebna 58
Zahájení:	9.00

Výsledky finále

Kategorie jednotlivci:
Michal Bajcar ( Gymnázium F. Živného Bohumín)

Kategorie kolektivy:
Studenti Gymnázia Jeseník (Lukáš Lattenberk, Jan Světlík, Kateřina Janáková, Václav Staněk)